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pammacdotnet/ejercicio 3 actividad grupal.html

Created January 3, 2023 11:03
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ejercicio 3 actividad grupal.html
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<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0//EN" "http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<head>
<meta name="GENERATOR" content="LyX 2.4.0-beta2" />
<meta http-equiv="Content-type" content="text/html;charset=UTF-8" />
<title>LyX Document</title>
<style type='text/css'>
/* Layout-provided Styles */
h2.section_ {
font-weight: bold;
font-size: x-large;
margin-top: 1.3ex;
margin-bottom: 0.7ex;
text-align: left;
}
blockquote.quotation {
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text-align: left;
}
ul.itemize {
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text-align: left;
}
div.standard {
margin-bottom: 2ex;
}
</style>
</head>
<body dir="auto">
<h2 class='section_' id='magicparlabel-1'>Ejercicio 3a</h2>
<blockquote class='quotation' id='magicparlabel-2'>
<div class="quotation_item">Demuestra que el conjunto:<a id="eq_s" /><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mtable displaystyle='true'>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo>
<mrow>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi>
<mo>,</mo>
<mi>z</mi>
<mo>,</mo>
<mi>t</mi>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow><mo>&isin;</mo>
<msup>
<mstyle mathvariant='double-struck'>
<mi>R</mi>
</mstyle>
<mn>4</mn>
</msup>
<mspace/>
<mo>|</mo>
<mspace width="10px"/>
<mn>2</mn>
<mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<mi>y</mi>
<mo>-</mo>
<mi>t</mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>}</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mtext>(1)</mtext>
</mtd>
</mtr>
</mtable></math>es un subespacio de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<msup>
<mstyle mathvariant='double-struck'>
<mi>R</mi>
</mstyle>
<mn>4</mn>
</msup>
</mrow></math>.</div>
<div class="quotation_item"><div style='height:5ex'></div>Por tratarse de objetos de cuatro coordenadas (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mi>x</mi>
</mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mi>y</mi>
</mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mi>z</mi>
</mrow></math> y <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mi>t</mi>
</mrow></math>), lo más probable es que se trate de un subespacio de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<msup>
<mstyle mathvariant='double-struck'>
<mi>R</mi>
</mstyle>
<mn>4</mn>
</msup>
</mrow></math>. Sin embargo, lo ideal es comprobarlo bien comprobado atendiendo a los axiomas que definen un espacio lineal (que se vieron en el tema 3). Vamos a empezar pasando de la notación de ecuaciones (la que nos dan en el enunciado) a la de vectores de <em>toda la vida</em>:</div>
</blockquote>
<ul class='lyxitem lyxitemi' id='magicparlabel-4'>
<li class="itemize_item">Primero fusionamos ambas ecuaciones (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<mi>y</mi>
<mo>-</mo>
<mi>t</mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</mrow></math> y <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</mrow></math>):<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<mi>y</mi>
<mo>-</mo>
<mi>t</mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn><mo>&xrarr;</mo>
<mn>2</mn>
<mi>x</mi>
<mo>-</mo>
<mi>t</mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn><mo>&xrarr;</mo>
<mi>t</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>x</mi>
<mspace width="6px"/>
<mn>.</mn>
</mrow>
</mrow></math></li>
<li class="itemize_item">Con esta nueva relación (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mi>t</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>x</mi>
</mrow>
</mrow></math>) ya podemos pasar a notación de lista de números (es decir, vectores en el espacio).<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mi>z</mi>
<mo>,</mo>
<mn>2</mn>
<mi>x</mi>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow><mo>&xrarr;</mo>
<mi>x</mi><mo>&sdot;</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>2</mn>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi>z</mi><mo>&sdot;</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow></math></li>
<li class="itemize_item">Expresado como subespacio, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mi>S</mi>
</mrow></math> es aquel generado por la base <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mstyle mathvariant='script'>
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow></math> (conformada a su vez por los vectores <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>s</mi>
</mstyle>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow></math>y <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>s</mi>
</mstyle>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow></math>): <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>s</mi>
</mstyle>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>2</mn>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow>
<mo>,</mo>
<mspace width="40px"/>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>s</mi>
</mstyle>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mn>2</mn>
</mstyle>
</msub>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow>
<mo>,</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mstyle mathvariant='script'>
<mi>S</mi>
</mstyle>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo>
<mrow>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>s</mi>
</mstyle>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>s</mi>
</mstyle>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>}</mo>
</mrow>
<mspace width="6px"/>
<mn>.</mn>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow></math></li>
<li class="itemize_item">Además, ambos vectores generadores (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>s</mi>
</mstyle>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow></math>y <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>s</mi>
</mstyle>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow></math>) son linealmente independientes ya que es imposible poner <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>s</mi>
</mstyle>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow></math> como combinación lineal de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>s</mi>
</mstyle>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow></math>:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>s</mi>
</mstyle>
<mn>1</mn>
</msub><mo>&ne;</mo><mi>&lambda;</mi>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>s</mi>
</mstyle>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
</mrow></math></li>
<li class="itemize_item">Con todo esto, podemos afirmar que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>&lang;</mo>
<mstyle mathvariant='script'>
<mi>S</mi>
</mstyle>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>&rang;</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow></math> es, efectivamente, de un subespacio de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<msup>
<mstyle mathvariant='double-struck'>
<mi>R</mi>
</mstyle>
<mn>4</mn>
</msup>
</mrow></math> y además tiene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow><mo>dim</mo>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
</mrow>
</mrow></math>.</li>
</ul>
<h2 class='section_' id='magicparlabel-9'>Ejercicio 3b</h2>
<div class='standard' id='magicparlabel-10'>Sea el subespacio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mi>T</mi>
</mrow></math> generado por la base:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mstyle mathvariant='script'>
<mi>T</mi>
</mstyle>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo>
<mrow><mover accent='false'>
<mover>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mn>3</mn>
<mo>,</mo>
<mn>4</mn>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow><mo stretchy="true">&OverBrace;</mo>
</mover>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>t</mi>
</mstyle>
<mn>1</mn>
</msub></mover>
<mo>,</mo><mover accent='false'>
<mover>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow><mo stretchy="true">&OverBrace;</mo>
</mover>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>t</mi>
</mstyle>
<mn>2</mn>
</msub></mover>
<mo>,</mo><mover accent='false'>
<mover>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow><mo stretchy="true">&OverBrace;</mo>
</mover>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>t</mi>
</mstyle>
<mn>3</mn>
</msub></mover>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>}</mo>
</mrow>
<mspace width="6px"/>
<mo>,</mo>
</mrow>
</mrow></math>calcula su dimensión y una base.<div style='height:5ex'></div></div>
<ul class='lyxitem lyxitemi' id='magicparlabel-11'>
<li class="itemize_item">Expresando <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mstyle mathvariant='script'>
<mi>T</mi>
</mstyle>
</mrow></math> en forma matricial y escalonando (lo dejo a vosotros), encontraríamos:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true' lspace='thinmathspace'>(</mo>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>2</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>3</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>4</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>2</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
</mtable><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true' lspace='thinmathspace'>)</mo><mover accent='false'><mo>&#x27F9;</mo>
<mtext>escalonando</mtext></mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true' lspace='thinmathspace'>(</mo>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>8</mn>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>4</mn>
</mtd>
</mtr>
</mtable><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true' lspace='thinmathspace'>)</mo>
<mspace width="6px"/>
<mo>,</mo>
</mrow>
</mrow></math>cuyo rango es 3 (y por lo tanto, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow><mo>dim</mo>
<mi>T</mi>
<mo>=</mo>
<mn>3</mn>
</mrow>
</mrow></math>). Por lo tanto, una base puede estar constituida por los integrantes de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mstyle mathvariant='script'>
<mi>T</mi>
</mstyle>
</mrow></math> sin problemas. Es decir, la misma base que el propio enunciado: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mstyle mathvariant='script'>
<mi>T</mi>
</mstyle>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo>
<mrow>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>t</mi>
</mstyle>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>t</mi>
</mstyle>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>t</mi>
</mstyle>
<mn>3</mn>
</msub>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>}</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow></math>. Eso sí, podemos buscar una nueva base ortonormal (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>t</mi><mo stretchy="true">&circ;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mover>
<mi>t</mi><mo stretchy="true">&circ;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mover>
<mi>t</mi><mo stretchy="true">&circ;</mo>
</mover>
<mn>3</mn>
</msub>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>}</mo>
</mrow>
</mrow></math>) mediante el proceso de Gram-Schmidt.</li>
<li class="itemize_item">Cojamos <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>t</mi>
</mstyle>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow></math> como vector de partida (simplemente porque es el más sencillo y ya está ortonormalizado) y ese ya lo definimos como primer vector de la base ortonormal:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>t</mi><mo stretchy="true">&circ;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>t</mi>
</mstyle>
<mn>2</mn>
</msub>
<mspace width="6px"/>
<mn>.</mn>
</mrow>
</mrow></math></li>
<li class="itemize_item">Calculemos el segundo vector <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>t</mi><mo stretchy="true">&circ;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow></math> a partir de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>t</mi>
</mstyle>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow></math> y <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>t</mi><mo stretchy="true">&circ;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow></math>:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mtable displaystyle='true'>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>t</mi><mo stretchy="true">&circ;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>t</mi>
</mstyle>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>&lang;</mo>
<mrow>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>t</mi>
</mstyle>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>|</mo>
<msub>
<mover>
<mi>t</mi><mo stretchy="true">&circ;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>&rang;</mo>
</mrow>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>&lang;</mo>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>t</mi><mo stretchy="true">&circ;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>|</mo>
<msub>
<mover>
<mi>t</mi><mo stretchy="true">&circ;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>&rang;</mo>
</mrow>
</mfrac>
<msub>
<mover>
<mi>t</mi><mo stretchy="true">&circ;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mn>3</mn>
<mo>,</mo>
<mn>4</mn>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>&lang;</mo>
<mrow>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mn>3</mn>
<mo>,</mo>
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<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
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<mo>|</mo>
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<li class="itemize_item">Calculamos ahora <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
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<mo>|</mo>
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<mrow>
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<mo>|</mo>
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</mrow>
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<mo>-</mo>
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<mrow>
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<mo>|</mo>
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<mo>|</mo>
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<mn>2</mn>
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<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
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</mrow>
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<mfrac>
<mn>2</mn>
<mn>13</mn>
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</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable></math></li>
</ul>
<h2 class='section_' id='magicparlabel-15'>Ejercicio 3c </h2>
<div class='standard' id='magicparlabel-16'>Calcular una base <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>+</mo>
<mi>T</mi>
</mrow>
</mrow></math>. <div style='height:5ex'></div>Esto es sencillo pues sólo tenemos que buscar aquellos vectores del conjunto <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
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<mstyle mathvariant='script'>
<mi>T</mi>
</mstyle>
<mo>+</mo>
<mstyle mathvariant='script'>
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<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>t</mi>
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<mo>,</mo>
<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>s</mi>
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<msub>
<mstyle mathvariant='bold'>
<mi>s</mi>
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</mrow>
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<mtext>escalonando</mtext></mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true' lspace='thinmathspace'>(</mo>
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<mtr>
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</mrow></math>con lo que el espacio suma <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
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<mi>S</mi>
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<mi>T</mi>
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</mrow></math> estaría generad por la base:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
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<mrow>
<mi>S</mi>
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</mrow>
<mo>,</mo>
<mrow>
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<mo>,</mo>
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<mo>,</mo>
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<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
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<mo>,</mo>
<mrow>
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<mo>,</mo>
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<mo>,</mo>
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</mrow>
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</mrow>
<mo>,</mo>
<mrow>
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<mo>,</mo>
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</mrow>
</mrow>
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</mrow>
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</mrow>
<mspace width="6px"/>
<mo>,</mo>
</mrow>
</mrow></math>y, por tanto, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow><mo>dim</mo>
<mi>S</mi>
<mo>+</mo>
<mi>T</mi>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn>
</mrow>
</mrow></math>.</div>
<h2 class='section_' id='magicparlabel-17'>Ejercicio 3d</h2>
<div class='standard' id='magicparlabel-18'>Calcular una base de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mi>S</mi><mo>&cap;</mo>
<mi>T</mi>
</mrow>
</mrow></math>. <div style='height:5ex'></div>Para ello ahora tenemos que hacer el paso inverso con el subespacio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mi>T</mi>
</mrow></math>, es decir: pasar de su expresión como espacio generado por vectores a espacio <em>constreñido</em> por ecuaciones:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>'</mo>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi>
<mo>'</mo>
<mo>,</mo>
<mi>z</mi>
<mo>'</mo>
<mo>,</mo>
<mi>t</mi>
<mo>'</mo>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo><mi>&alpha;</mi><mo>&sdot;</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mn>3</mn>
<mo>,</mo>
<mn>4</mn>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo><mi>&beta;</mi><mo>&sdot;</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo><mi>&gamma;</mi><mo>&sdot;</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow>
<mspace width="6px"/>
<mn>.</mn>
</mrow>
</mrow></math>Desarrollando, tenemos:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>'</mo>
<mo>=</mo><mi>&alpha;</mi>
<mo>'</mo>
<mo>+</mo><mi>&gamma;</mi>
<mo>'</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow/>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>'</mo>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>&alpha;</mi>
<mo>'</mo>
<mo>+</mo><mi>&beta;</mi>
<mo>'</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow/>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>z</mi>
<mo>'</mo>
<mo>=</mo>
<mn>3</mn><mi>&alpha;</mi>
<mo>'</mo>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn><mi>&gamma;</mi>
<mo>'</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow/>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>t</mi>
<mo>'</mo>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn><mi>&alpha;</mi>
<mo>'</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow/>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mspace width="6px"/>
<mo>,</mo>
</mrow>
</mrow></math></div>
<div class='standard' id='magicparlabel-19'>Los vectores que pertenezcan a la intersección de los dos subespacios <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mi>S</mi>
</mrow></math> y <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mi>T</mi>
</mrow></math> serán aquellos cuyas componentes cumplan también las relaciones de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mi>S</mi>
</mrow></math>, es decir, las de la Expresión <a href="#eq_s">(1)</a>. Al final, obtendríamos estas ecuaciones:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>&alpha;</mi>
<mo>'</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow/>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow/>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>z</mi>
<mo>=</mo>
<mn>5</mn><mi>&alpha;</mi>
<mo>'</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow/>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>t</mi>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn><mi>&alpha;</mi>
<mo>'</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow/>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mspace width="6px"/>
<mo>,</mo>
</mrow>
</mrow></math>que como vector puede expresarse como <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>5</mn>
<mo>,</mo>
<mn>4</mn>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow>
</mrow></math>. Por tanto, el espacio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mi>S</mi><mo>&cap;</mo>
<mi>T</mi>
</mrow>
</mrow></math> será aquel generado por:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow>
<mrow>
<mi>S</mi><mo>&cap;</mo>
<mi>T</mi>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>&lang;</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo>
<mrow>
<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mn>5</mn>
<mo>,</mo>
<mn>4</mn>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>}</mo>
</mrow>
<mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>&rang;</mo>
</mrow>
<mtext>
<mn>.</mn></mtext>
</mrow>
</mrow></math></div>
</body>
</html>
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