由於 (1 + 1/n)ⁿ 是二項式的 n 次方,要了解它的特性(如剛才展示的上下限),需要用上二項式定理。上面不等式最具技巧的一步在於藍色分母從 n! 變成 2ⁿ⁻¹。 小問題:為何上標有 "-1"? 重點在於 n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋯ (n - 1) n 中,當 n! 變成 (n + 1)! 時,額外乘上的數字 n + 1 是隨 n 而增長,但 2ⁿ 變成 2ⁿ⁺¹ 時,額外乘上的數字永遠是 2,所以當 n「足夠大」(n > 3)時,n! > 2ⁿ。 取倒數後不等式反轉,於是出現 1/n! < 1/2ⁿ,然後就可以運用等比數列和公式,為 (1 + 1/n)ⁿ 給出上限。
上面實驗發現 n 越大,(1 + 1/n)ⁿ 也越大。即若 m < n,(1 + 1/m)ᵐ < (1 + 1/n)ⁿ。這種數列我們叫__嚴格遞增數列__。(「嚴格遞增」比「單調遞增」「嚴格」,只接受「>」,不接受「=」。) 練習:試證 (1 + 1/n)ⁿ < (1 + 1/(n + 1))ⁿ⁺¹ 提示:
- 如上面般展開 (1 + 1/n)ⁿ,分離最簡單兩項。
- 其餘 n - 1 項中,調整分子分母配對,先把 1 / k! 放在左邊。