Created
March 25, 2024 14:04
-
-
Save wiktorpp/9840c45c1d4d1df36ce7ed94a81e3f7e to your computer and use it in GitHub Desktop.
Training data
This file contains bidirectional Unicode text that may be interpreted or compiled differently than what appears below. To review, open the file in an editor that reveals hidden Unicode characters.
Learn more about bidirectional Unicode characters
Egzaminator przygotował 30 pytań, wypisując na każdej kartce 4 pytania. Zdający umie odpowiedzieć poprawnie na połowę pytań. Jakie jest prawdopodobieństwo że zdający odpowie poprawnie na 4 pytania? | |
Rozwiązanie: | |
1. Oblicz |Ω| | |
|Ω| oznacza liczbę wszystkich możliwych wyników. W tym przypadku mamy 30 pytań, a zdający może wybrać 4 z nich. Możemy to obliczyć na dwa sposoby: | |
Metoda 1: Kombinacja | |
Używamy kombinacji, ponieważ kolejność wyboru pytań nie ma znaczenia. | |
|Ω| = 30C4 = 30! / (4! * 26!) = 27405 | |
Metoda 2: Wariacja z powtórzeniami | |
Możemy również użyć wariacji z powtórzeniami, ponieważ zdający może wybrać to samo pytanie kilka razy. | |
|Ω| = 30^4 = 810000 | |
2. Oblicz |A| | |
|A| oznacza liczbę wyników sprzyjających, czyli liczbę sposobów, w jakie zdający może wybrać 4 pytania, na które odpowie poprawnie. | |
Zdający umie odpowiedzieć poprawnie na połowę pytań, czyli na 15 pytań. Musimy wybrać 4 z tych 15 pytań. | |
|A| = 15C4 = 15! / (4! * 11!) = 1365 | |
3. Oblicz prawdopodobieństwo | |
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe ilorazowi |A| do |Ω|: | |
P(A) = |A| / |Ω| = 1365 / 27405 = 0.05 | |
Wniosek: | |
Prawdopodobieństwo, że zdający odpowie poprawnie na 4 pytania, wynosi 0.05, czyli 5%. | |
Uwaga: | |
W obliczeniach |Ω| można było użyć dowolnej z dwóch metod. Ważne jest, aby stosować tę samą metodę do obliczenia |A|. | |
This file contains bidirectional Unicode text that may be interpreted or compiled differently than what appears below. To review, open the file in an editor that reveals hidden Unicode characters.
Learn more about bidirectional Unicode characters
Do pudełka z 9 nowymi bateriami wrzucono 5 wyczerpanych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 4 wyjętych z pudełka baterii znaida sie co najmniej 2 nowe? | |
Rozwiązanie: | |
1. Oblicz |Ω| | |
|Ω| to liczba wszystkich możliwych wyników losowania 4 baterii z 14. Możemy to obliczyć za pomocą kombinacji: | |
|Ω| = C(14,4) = 14! / (4! * 10!) = 1001 | |
2. Oblicz |A| | |
|A| to liczba sposobów na wylosowanie co najmniej 2 nowych baterii. Możemy to obliczyć na kilka sposobów: | |
Metoda 1: Suma prawdopodobieństw | |
Możemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania 2, 3 lub 4 nowych baterii i zsumować te prawdopodobieństwa: | |
|A| = P(2 nowe) + P(3 nowe) + P(4 nowe) | |
P(2 nowe) = C(9,2) * C(5,2) / C(14,4) = 360 / 1001 | |
P(3 nowe) = C(9,3) * C(5,1) / C(14,4) = 420 / 1001 | |
P(4 nowe) = C(9,4) / C(14,4) = 126 / 1001 | |
|A| = 360/1001 + 420/1001 + 126/1001 = 906/1001 | |
Metoda 2: Uzupełnienie | |
Możemy obliczyć liczbę sposobów na wylosowanie 0 lub 1 nowej baterii, a następnie odjąć tę liczbę od |Ω|, aby uzyskać liczbę sposobów na wylosowanie co najmniej 2 nowych baterii: | |
|A| = |Ω| - (P(0 nowych) + P(1 nowa)) | |
P(0 nowych) = C(5,4) / C(14,4) = 5/1001 | |
P(1 nowa) = C(9,1) * C(5,3) / C(14,4) = 720 / 1001 | |
|A| = 1001 - (5/1001 + 720/1001) = 906/1001 | |
3. Oblicz prawdopodobieństwo | |
Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 2 nowych baterii to: | |
P(A) = |A| / |Ω| = 906/1001 = 0.905 | |
Wniosek: | |
Prawdopodobieństwo, że wśród 4 wyjętych z pudełka baterii znajdą się co najmniej 2 nowe, wynosi 0.905. |
Sign up for free
to join this conversation on GitHub.
Already have an account?
Sign in to comment